Problema de "einstein"

Dependiendo de las definiciones particulares de aperiodicidad y las especificaciones de qué conjuntos se pueden calificar como mosaicos y qué tipos de reglas de coincidencia están permitidas, el problema está abierto o resuelto. El problema de "einstein" puede verse como una extensión natural de la segunda parte del decimoctavo problema de Hilbert, que busca un único poliedro que enjaece en el espacio euclidiano tridimensional, pero tal que ninguna teselación de este poliedro sea una figura isoedral. Tales teselados anisoedrales fueron encontrados por Karl Reinhardt en 1928, pero todos ellos recubren el espacio periódicamente. En 1988, Peter Schmitt descubrió un único prototipo aperiódico en el espacio euclídeo tridimensional. Si bien ningún mosaico de este prototipo admite una traslación como simetría, algunos tienen simetría helicoidal. La operación helicoidal implica una combinación de traslación y rotación a través de un múltiplo irracional de π, por lo que ningún número de operaciones repetidas produce una traslación pura. Esta construcción fue ampliada posteriormente por John Horton Conway y Ludwig Danzer a un prototipo aperiódico convexo, el teselado de Schmitt-Conway-Danzer. La presencia de la simetría helicoidal se tradujo en una revaluación de los requisitos de no periodicidad.