Teste de Abel

Em matemática, o teste de Abel (Veja Niels Henrik Abel) demonstra a convergência de séries numéricas que podem ser escritas na forma: ∑ n = 1 ∞ a n b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}} onde as duas propriedades são verificadas: ∑ n = 1 N a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}a_{n}\,} converge {bn} é monótona e lim n → ∞ b n = b ∞ ≠ ± ∞ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=b_{\infty }\neq \pm \infty \,} Para a demonstração,pode-se usar o Critério de Dirichlet. Como a sequência ( b n ) {\displaystyle (b_{n})} é limitada inferiormente por zero, ela converge, sendo então c seu limite. lim n → ∞ b n = c {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}=c} e lim n → ∞ b n − c = 0 {\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}-c=0} onde b n − c {\displaystyle b_{n}-c} também uma sequência decrescente com limite 0 e assim aplica-se o Critério de Dirichlet. Então: ∑ n = 1 ∞ a n ( b n − c ) = ∑ n = 1 ∞ a n b n − c ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(b_{n}-c)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}-c\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} Somando c . ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle c.\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} em ambos os lados: ∑ n = 1 ∞ a n ( b n − c ) + c ∑ n = 1 ∞ a n = ∑ n = 1 ∞ a n b n {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(b_{n}-c)+c\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}} onde ∑ n = 1 ∞ a n ( b n − c ) {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}(b_{n}-c)} converge, pelo Critério de Dirichlet e c . ∑ n = 1 ∞ a n {\displaystyle c.\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}} converge, pela hipótese, Logo, ∑ n = 1...