Seno

O seno é uma função trigonométrica. Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a θ , {\displaystyle \theta ,} define-se sen ⁡ ( θ ) {\displaystyle \operatorname {sen} (\theta )} como sendo a razão entre o cateto oposto a θ {\displaystyle \theta } e a hipotenusa deste triângulo. Ou seja: sen θ = cateto oposto hipotenusa {\displaystyle \operatorname {sen} \,\theta ={\frac {\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}}} Exemplo: Um triângulo retângulo cuja hipotenusa é de valor 10 e seus catetos são de valores 6 e 8. O seno do ângulo oposto ao lado de valor 6 é 6/10 , ou seja, 0,6. Pode-se definir função seno pela série de Taylor: sen ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 para todo x {\displaystyle \operatorname {sen} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}\quad {\mbox{ para todo }}x} Esta série possui raio de convergência infinito e as bem conhecidas propriedades da função seno podem ser demonstradas diretamente através dela. Tal definição tem sentido tanto no conjunto dos números reais como no conjunto dos números complexos, e desta maneira pode-se definir o seno de um número complexo z = x + i y {\displaystyle z=x+iy} como: sen ⁡ ( x + i y ) = sen ⁡ ( x ) cosh ⁡ ( y ) + i senh ⁡ ( y ) cos ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {sen} (x+iy)=\operatorname {sen} (x)\cosh(y)+i\operatorname {senh} (y)\cos(x)} Onde i {\displaystyle i} é a unidade imaginária, senh {\displaystyle \operatorname {senh} } é a função seno hiperbólico e cosh {\displaystyle \cosh } é a função cosseno hiperbólico. Além disso, o seno pode ser expresso como uma soma de exponenciais complexas, devido à relação de Euler. e i x = cos ⁡ ( x ) + i sen ⁡ ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\operatorname {sen} (x)} e − i x = cos ⁡ ( x ) − i sen ⁡ ( x ) {\displaystyle e^{-ix}=\cos(x)-i\operatorname {sen} (x)} e i x − e − i x = 2 i sen ⁡ ( x ) {\displaystyle e^{ix}-e^{-ix}=2i\operatorname {sen} (x)} sen ⁡ ( x ) = e i x − e − i x 2 i {\displaystyle \operatorname {sen} (x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}} A recíproca do seno é a cossecante, e sua inversa é arco seno.