Nombre normal

En mathématiques, un nombre normal en base dix est un nombre réel tel que dans la suite de ses décimales, toute suite finie de décimales consécutives (ou séquence, ou encore plage) apparaît avec la même fréquence limite que n'importe laquelle des séquences de même longueur. Par exemple, la séquence 1789 y apparaît avec une fréquence limite 1/10 000. Émile Borel les a ainsi nommés lors de sa démonstration du fait que presque tout réel possède cette propriété. Notons A = { 0 , … , b − 1 } {\displaystyle A=\{0,\dots ,b-1\}} l'ensemble des chiffres en base b {\displaystyle b} , et soit x {\displaystyle x} un nombre réel. Si s {\displaystyle s} est une suite finie d'éléments de A {\displaystyle A} , notons N ( s , n ) {\displaystyle N(s,n)} le nombre d'apparitions de la suite s {\displaystyle s} parmi les n {\displaystyle n} premiers chiffres après la virgule du développement propre de x {\displaystyle x} en base b {\displaystyle b} . Le nombre x {\displaystyle x} est dit : Le concept de nombre normal a été introduit par Émile Borel en 1909. En utilisant le lemme de Borel-Cantelli, il démontre le « théorème des nombres normaux » : presque tous les nombres réels sont absolument normaux, dans le sens où l'ensemble des nombres non absolument normaux est de mesure nulle (pour la mesure de Lebesgue). Théorème — Dans R {\displaystyle \mathbb {R} } , presque tout nombre (au sens de la mesure de Lebesgue) est absolument normal. En utilisant que toute réunion dénombrable d'ensembles négligeables est négligeable, on se ramène facilement à démontrer que dans une base b fixée, presque tout élément de Ω = [ 0 , 1 [ {\displaystyle \Omega =\left[0,1\right[} est simplement normal. Notons alors A = { 0 , … , b − 1 } {\displaystyle A=\{0,\dots ,b-1\}} .