Factorielle

En mathématiques, la factorielle d'un entier naturel n {\displaystyle n} est le produit des nombres entiers strictement positifs inférieurs ou égaux à n {\displaystyle n} . Cette opération est notée avec un point d'exclamation, n ! {\displaystyle n!} , ce qui se lit soit « factorielle de n {\displaystyle n} », soit « factorielle n {\displaystyle n} », soit « n {\displaystyle n} factorielle ». Cette notation a été introduite en 1808 par Christian Kramp. Par exemple, la factorielle de 10 exprime le nombre de combinaisons possibles de placement des 10 convives autour d'une table (on parle de permutation des convives). Le premier convive s'installe sur l'une des 10 places à sa disposition. Chacun de ses 10 placements ouvre 9 nouvelles possibilités pour le deuxième convive, celles-ci 8 pour le troisième, et ainsi de suite. La factorielle joue un rôle important en algèbre combinatoire parce qu'il y a n ! {\displaystyle n!} façons différentes de permuter n {\displaystyle n} objets. Elle apparaît dans de nombreuses formules en mathématiques, comme la formule du binôme et la formule de Taylor. Au XIII siècle, le mathématicien de Marrakech Ibn Mun’im publie un livre intitulé La science du calcul (Fiqh Al-Hisab) dans lequel il traite pour la première fois de factorielles. Il démontre notamment comment calculer le nombre des permutations d'un ensemble à n {\displaystyle n} éléments.