Droite d'Euler

En géométrie euclidienne, dans un triangle non équilatéral, la droite d'Euler est une droite passant par plusieurs points remarquables du triangle, dont l'orthocentre, le centre de gravité (ou isobarycentre) et le centre du cercle circonscrit. Cette notion s'étend au quadrilatère inscriptible et au tétraèdre. C’est Robert Simson qui, le premier, découvre que dans un triangle non équilatéral (ABC), l'orthocentre H, le centre de gravité (ou isobarycentre) G et le centre du cercle circonscrit O sont alignés. Quelques années plus tard, Leonhard Euler en fournit une démonstration dans l’ouvrage Solutions faciles de problèmes difficiles en géométrie, publié en latin en 1765 ; il y détermine les relations de proportionnalité entre les distances : HO = 3/2HG et GO = 1/2HG. La droite (HGO) passe également par le centre Ω du cercle des neuf points, milieu du segment [OH], ainsi que par d'autres points remarquables du triangle. Les quatre points H,G,O,Ω sont confondus pour un triangle équilatéral (et sinon, ils sont tous distincts). Parmi les autres points remarquables de la droite d'Euler, on peut citer le point de Longchamps, le point de Schiffler, le point d'Exeter et le perspecteur de Gossard. En revanche, le centre du cercle inscrit dans le triangle n'en fait pas partie, sauf si celui-ci est isocèle. Dans ce cas, la droite d'Euler est l'axe de symétrie du triangle. La relation vectorielle d'Euler : O H → = 3 O G → {\displaystyle {\overrightarrow {OH}}=3{\overrightarrow {OG}}} exprime à la fois l'alignement de H , G , O {\displaystyle H,G,O} et leur disposition mutuelle.