Convergence simple

Le passage à la limite possède donc moins de propriétés : une suite de fonctions continues peut ainsi converger simplement vers une fonction qui ne l'est pas. Illustrons la convergence simple sur la suite ( f n ) n ∈ N {\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }} de fonctions continues f n {\displaystyle f_{n}} définie par f n ( x ) = sin n ⁡ ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)=\sin ^{n}(x)} pour tout x {\displaystyle x} entre 0 et π {\displaystyle \pi } . Quand x ≠ π 2 {\displaystyle x\neq {\frac {\pi }{2}}} , 0 ≤ sin ⁡ ( x ) < 1 {\displaystyle 0\leq \sin(x)<1} et donc f n ( x ) = sin n ⁡ ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)=\sin ^{n}(x)} converge vers 0 quand n {\displaystyle n} tend vers l'infini. Pour x = π 2 {\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}} , on a f n ( x ) = sin n ⁡ ( x ) = 1 {\displaystyle f_{n}(x)=\sin ^{n}(x)=1} , qui converge vers 1 quand n {\displaystyle n} tend vers l'infini. Ainsi, en posant f ( x ) = { 1 si x = π 2 0 sinon {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1{\text{ si }}x={\frac {\pi }{2}}\\0{\text{ sinon}}\end{cases}}} , on a pour tout x {\displaystyle x} entre 0 et π, f n ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)} qui tend vers f ( x ) {\displaystyle f(x)} quand n {\displaystyle n} tend vers l'infini. Autrement, f n {\displaystyle f_{n}} converge simplement vers f {\displaystyle f} quand n {\displaystyle n} tend vers l'infini. La figure à droite montre les graphes des fonctions f n {\displaystyle f_{n}} (en bleu et vert) et de la fonction f {\displaystyle f} (en rouge). Le graphe de f n {\displaystyle f_{n}} ressemble à une cloche centrée autour de x = π 2 {\displaystyle x={\frac {\pi }{2}}} .