Recta de Simson

En geometría, dado un triángulo ABC y un punto P en su circunferencia circunscrita, los tres puntos más cercanos a P en las líneas AB, AC y BC son colineales. La recta que pasa por estos puntos es la recta de Simson. Esta recta reciben su nombre en honor a Robert Simson (1687-1768) aunque los historiadores de matemáticas no han encontrado evidencia de su autoría. Dado que la primera publicación conocida en la que aparecen estas rectas, fechada en 1797 y perteneciente a William Wallace, en ocasiones se denomina a esta recta como recta de Wallace-Simson. Lo contrario también es cierto: si los tres puntos más cercanos a P en tres rectas son colineales y ninguna de las rectas es paralela, entonces P se encuentra en la circunferencia circunscrita al triángulo formado por las tres rectas. O, en otras palabras, la recta de Simson de un triángulo ABC y un punto P es simplemente el triángulo pedal de ABC y P que ha degenerado en una recta, y esta condición limita el lugar geométrico de P para trazar la circunferencia circunscrita al triángulo ABC. En general, si se trazan perpendiculares desde un punto cualquiera del plano (exterior o interior al triángulo), los pies de dichas perpendiculares no son colineales sino que forman un triángulo denominado triángulo pedal. La colinealidad de los tres pies de las perpendiculares es característica de los puntos de la circunferencia circunscrita: Es decir, no sólo los pies de las perpendiculares trazados desde un punto en la circunferencia circunscrita son colineales, sino que estos puntos son los únicos que poseen dicha propiedad. Las proyecciones de Ap, Bp, Cp sobre BC, CA, AB son tres puntos colineales Sea ABC un triángulo, sea ℓ una recta que pasa por el centro del círculo circunscrito O, y sea P un punto que pertenece al círculo circunscrito. Sean AP, BP, CP los puntos de intersección de ℓ con Ap, Bp, Cp respectivamente.