Dimensionsformel

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Die Dimensionsformel entstammt dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Sie gibt an, wie sich die Dimension der Summe zweier endlichdimensionaler Untervektorräume V 1 {\displaystyle V_{1}} , V 2 {\displaystyle V_{2}} eines größeren Vektorraumes berechnen lässt: Sie folgt unmittelbar aus dem Rangsatz. Einen Spezialfall stellt die Situation V 1 ⊕ V 2 = V 1 + V 2 {\displaystyle V_{1}\oplus V_{2}=V_{1}+V_{2}} dar (siehe Direkte Summe). Die Dimensionsformel reduziert sich in diesem Fall auf da für eine direkte Summe gilt Der Untervektorraum, den der Schnitt von V 1 {\displaystyle V_{1}} und V 2 {\displaystyle V_{2}} darstellt, ist somit der Nullvektorraum, dessen Dimension gleich null ist. Ist V 1 {\displaystyle V_{1}} oder V 2 {\displaystyle V_{2}} unendlichdimensional, so ist es nicht mehr möglich die Subtraktion auszuführen. Es gilt jedoch in jedem Fall und Da für zwei Kardinalzahlen, von denen zumindest eine unendlich ist, die Summe gleich dem Maximum der beiden ist, ist also in dem Fall, dass einer der beiden Teilräume unendlichdimensional ist, dim ⁡ ( V 1 + V 2 ) = max { dim ⁡ V 1 , dim ⁡ V 2 } {\displaystyle \dim \left(V_{1}+V_{2}\right)=\max\{\dim V_{1},\dim V_{2}\}} .