Cambio de variable

Un cambio de variable es una técnica empleada en matemática para resolver algunas ecuaciones o sistemas de ecuaciones de grado superior a uno, que de otra forma sería más complejo resolver. Mediante este sistema se da paso a una ecuación equivalente, y, una vez resuelta, se deshace el cambio para obtener el valor de la incógnita inicial.​ Se emplea en los siguientes casos: Ecuaciones bicuadradas Ecuaciones y sistemas exponenciales Ecuaciones de tercer grado Ecuaciones de cuarto grado Ejemplo: resolución de una ecuación exponencial mediante cambio de variable: Existen tres tipos de ecuaciones exponenciales; en el segundo caso pueden reducirse a una de segundo grado. Es el caso de 9 x − 7 ⋅ 3 x − 18 = 0 {\displaystyle 9^{x}-7\cdot 3^{x}-18=0\,} . Se siguen los siguientes pasos: Se factoriza 9 en 32 para que tenga la misma base que 7 · 3x: 3 2 x − 7 ⋅ 3 x − 18 = 0 {\displaystyle 3^{2x}-7\cdot 3^{x}-18=0\,} Se realiza el cambio de variable 3x = z, por lo que 32x = z2, y se tiene: z 2 − 7 z − 18 = 0 → z = 7 ± 49 + 72 2 = 7 ± 11 2 → z 1 = 9 ; z 2 = − 2 {\displaystyle z^{2}-7z-18=0\rightarrow \ z={\frac {7\pm {\sqrt {49+72}}}{2}}={\frac {7\pm 11}{2}}\rightarrow \ z_{1}=9;z_{2}=-2\,} Se deshace el cambio de variable: 3 x = 9 → 3 x = 3 2 → x = 2 {\displaystyle 3^{x}=9\rightarrow \ 3^{x}=3^{2}\rightarrow \ x=2} La única solución es x = 2, ya que las potencias de 3 siempre son positivas, por lo que 3x = - 2 no puede cumplirse.